Эквидистанта, кривая равноудаленная от заданной кривой, то есть точки этой кривой находятся на нормалях к точкам исходной кривой, при этом длины нормалей равны друг другу и известны. Говорят об эквидистанте к плоской кривой, потому что в плоском случае эквидистанту можно однозначно построить. В случае размерности выше 2-х необходимы дополнительные условия. Будет рассмотрена постановка задачи для 3-х мерного пространства.
В [1] даны аналитические выражения для уравнений эквидистанты. В параметрическом случае уравнения записываются в краткой форме. В случае неявного задания кривой требуется вычисления дискриминанта и результанта . Уже для случая эллипса аналитические зависимости становятся громоздкими. По-видимому для более сложных кривых и неалгебраических кривых приемлимы численные методы. Их рассмотрим.
Для построение нормали, заданной длины, к отрезку (x0,y0) (x1,y1) необходимо определить координаты точки (xN,yN). Зная заданную длину вектора нормали N и применяя условие перпендикулярности векторов их определяем. Таким образом из координат нормалей, равноудаленных от кривой, численно получается эквидистантная кривая. Очевидно, что для заданных точек и заданной длины нормали можно построить две эквидистанты, расположенные по разные стороны от исходной кривой.
Ниже приведены несколько анимаций плоских явных и неявных кривых. На анимациях близким оттенком показаны эквидистантные кривые, располагающиеся по "одну" сторону от исходной кривой. Очевидно что при уменьшении длины удаления эквидистанты от исходной кривой, эквидистанта должна стремиться стать в точности исходной кривой. Эквидистантые кривые в общем случае не подобны друг другу, при неком удалении появляются "лишние" самопересечения. Для практических целей если самопересечения малы, их можно убрать, если они не малы, то необходим выбрать метод как их "упростить".
| Эквидистанты "вне" эллипса представляют собой подобную эллипсу кривую. Эквидистанты "внутри" эллипса до некоторой величины также подобны, затем становятся негладкими и превращаются в эллипсы повернутые на 90° | Эквидистанты к косинусу также периодические функции |
| Эквидистанты "внтури кубика" на некотором расстоянии представляют собой сетку | Эквидистанты повторяют изгибы функции |
| Эквидистанты к неявной функции. Вид эквидистант подобран для профилей кулачка | Эквидистанты к неявной функции. Вид уравнения кривой аналогичен предыдущему "кулачковому". Начальная точка другая и кривая по виду сильно отличается от предыдущего случая |
| Эквидистанты к неявной функции в полярных координатых |
Рассмотрим пересечение двух поверхностей в пространстве. Пересечение проходит по некоторой кривой, которая может быть замкнута или размокнута. Выберем такую область вокруг кривой, в которую попадают пересекающиеся поверхности и других кривых пересечения нет. Возьмем некую точку O кривой. Посчитаем численно производную по направлению для этой точки (xk+1-xk, yk+1-yk, zk+1-zk). Построим плоскость, у которой вектор нормали полученная ранее производная, и содержащая точку точку О. Качественная схема показана левее.
Кривые AA', BB' получим из пересечния плоскости с нормалью OO' и исходных поверхностей. Выберем условно направление выпуклости, то есть направление от кривой пересечения, в которой лежат интересующие части поверхностей. По кривым AO, OB можно построить эквидистантные кривые для выпуклого случая.
Будем рассматривать эквидистанты для выпуклых участков кривых, то есть как и в плоском случае есть два направления. Длиной эквидистанты будем считать длину выпуклого участка кривой. Ее можно определить численно суммируя расстояния между точками отрезка или аналитически через интеграл. Отметим, что проекция поверхности на плоскость может быть замкнутой кривой. Тогда начиная с некоторой длины эквидистанты, расстояние до точки пересечения будет уменьшаться до нуля(возвращение в точку пересечения), затем снова расти(следующий виток). Если для точек кривой пересечения поверхностей построить перпендикулярные плоскости, найти заданные длины эквидистант и соответственно их координаты, их соединить, то получим эквидистантные кривые для пространственной кривой.
Для целей наглядности будем строить участки поверхностей, их кривую пересечения для некоторой области. На анимациях пространственных кривых близким отенком показаны эквидистанты, располагающиеся на одной поверхностях.
На виде 1 и 2 показаны эквидистанты к кривой, полученной пересечением поверхности гиперболоида и эллиптического цилиндра. На виде 2 показано, что на поверхности цилиндра идет "загибание" эквидистанты с определенной длиной по причинам, изложенным ранее. На виде 3 длину эквидистанты увеличил, чтобы показать эффект "возвращения" в исходную точку На виде 4 и 5 показаны эквидистанты к кривой, полученной пересечением неявной поверхности и сферы. Неявная поверхность имеет "волнистость" по определенным направлениям, эквидистанта также волнистая в этих направлениях.Источники
[1] Эквидистанта и не только...
[2] Examples of building equidistant line to the given curve
